兔子繁殖问题(斐波那契数列),什么是斐波那契数列?

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兔子繁殖问题(斐波那契数列):

意大利有一座文化古城——比萨城,闻名世界的比萨斜塔就坐落在这里。这个城市出过不少有名的科学家,七百多年以前,著名的数学家斐波那契就生活在这里。这一带气候温和,阳光明媚,地中海上不时吹来潮湿的海风。这里雨水也很充足,附近的农业、畜牧业都很发达。

有一天,斐波那契到外面散步,看到一个男孩子在院子旁边筑起了一个篱笆。斐波那契往里一瞧,嗬,里面有一对红眼睛、大耳朵的白兔。那一对可爱的小东西正在急急忙忙地吃萝卜叶呢。斐波那契很喜爱小白兔,因此,他出神地站在那里看了好一会儿,才转身回家。

几个月后,斐波那契又散步到那里。他往篱笆里一看,咦,里面不再是一对兔子,而是大大小小好多兔子。有的在挖土,有的在吃草,有的在蹦跳……那养兔子的小男孩正在忙着往里送草呢。

斐波那契问那小男孩:“你又买了一些兔子吗?”

兔子繁殖问题(斐波那契数列),什么是斐波那契数列?插图

著名数学家斐波那契

“没有,这些都是原来那对兔子生的小兔子。”男孩子回答。

“一对兔子能繁殖这么多?”斐波那契感到惊奇。

那男孩子说:“兔子繁殖得可快了,每个月都要生一次小宝宝。并且,小兔子出生两个月以后就能够当爸爸妈妈,再生小兔子了。”

“噢,原来是这样的。”斐波那契明白了。

回家以后,那些可爱的小白兔又出现在斐波那契的脑海里。

“兔子的繁殖能力真惊人啊,一年之内到底能生多少只呢?”他给自己出了这样一个题目:假若一对兔子每个月可以生出一对小兔子,并且兔子在出生两个月以后就能再繁殖后代,那么,这对兔子和它们的子子孙孙,一年之内可以繁殖多少对兔子呢?

接着,他思考这个问题的答案了。

第一个月,这对兔子做了爸爸妈妈,它们生了一对可爱的小宝宝。这样,它们家里就有2对兔子了。

第二个月,兔妈妈又生下一对小宝宝,这时候,它们家里就是3对兔子。

第三个月,当兔妈妈又生下一对小宝宝的同时,兔妈妈第一个月生的那对小兔子已经长大,也能生儿育女了,所以,它们也生了一对美丽的小兔子。于是,3月份它们家里的成员就是5对了。

斐波那契将兔子每个月繁殖的情况列在下表里。

兔子繁殖问题(斐波那契数列),什么是斐波那契数列?插图(1)

兔子繁殖问题(斐波那契数列),什么是斐波那契数列?插图(2)

从表格的最后一行可以看到,1月份共有2对兔子,2月份是3对,3月份是5对, 4月份是8对……到12月份猛增到377对,也就是754只兔子。

“由一对白兔开始,一年之内,兔子就将近1 000 只,真是一个惊人的速度!”斐波那契感到非常惊讶。

从1月份到12月份,每个月兔子的对数是:

这一行数字乍看起来没有什么特殊的地方,但是斐波那契仔细一琢磨,发现它们是很有规律的。什么规律呢?从第三个数字开始,每个数字都是它前面两个数的和。

兔子繁殖问题(斐波那契数列),什么是斐波那契数列?插图(3)

这真是个有趣的发现,斐波那契高兴极了。这个发现不但有趣,还非常有用。它可以证明,以后各月兔子的总数也是这样增加的。按照这个规律,第二年1月份兔子的总数马上就可以算出来,是233+377=610(对);第二年2月份兔子的总数是377+610=987 (对)……以后每个月共有多少对兔子,都可以轻而易举地算出来,就不用再去列上面那个麻烦的表格了。

在上表最后一行有趣的数字前面添上两个1,得出1,1,2,3,5,8,13,21, 34,55,89,144,233,377。这一行数字也是从第三个开始,每个数字都是前面两个数字之和,它只是比原来的那一行更完全了。

斐波那契把这个有趣的发现写进了他的著作《算盘书》中。

什么是斐波那契数列?

为了纪念这个有趣问题的提出者,人们把这个问题叫作“斐波那契问题”,并把上面的数1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377…叫作“斐波那契数”。

趣味数学故事:植物的生长与斐波那契数

斐波那契数在实际生活中有着广泛而有趣的应用。除了动物的繁殖外,植物的生长也与斐波那契数有关。数学家泽林斯基在一次国际数学会议上提出了树木生长的问题:如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝,然后休息一年。再在下一年又长出一条新枝,并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝。那么,第一年它只有主干,第二年有2枝,第三年有3枝,然后是5枝、8枝、13枝等,每年的分枝数正好为斐波那契数。生物学中所谓的“鲁德维格定律”,实际就是斐波那契数在植物学中的应用。

兔子繁殖问题(斐波那契数列),什么是斐波那契数列?插图(4)

植物的生长与斐波那契数

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