一个大于1的整数，如果除了它本身和l以外，不能被其他正整数所整除，这个整数就叫作质数。质数也叫素数，如2，3，5，7，11等都是质数。
如何从正整数中把质数挑出来呢，自然数中有多少质数？对于这些问题人们还不清楚，因为它的规律很难寻找。质数像一个顽皮的孩子一样和数学家捉迷藏。
古希腊数学家、亚历山大图书馆馆长埃拉托塞尼提出了一种寻找质数的方法：先写出从1到任意一个你所希望达到的数为止的全部自然数，然后把从4开始的所有偶数划掉，再把能被3整除的数（3除外）划掉，接着把能被5整除的数（5除外）划掉……这样一直划下去，最后剩下的数，除1以外全部都是质数。例如，找1～30之间的质数时可以这样做。
后人把这种寻找质数的方法称为埃拉托塞尼筛法。它可以像从沙子里筛石头那样，把质数筛选出来。质数表就是根据这个筛选原则编制出来的。
数学家们并不满足用筛法去寻找质数，因为用筛法求质数带有一定的盲目性，你不能预先知道要“筛”出什么质数来。数学家们渴望找到的是质数的规律，以便更好地掌握质数。
从质数表中我们可以看到质数分布的大致情况：
1 到1 000 之间有168 个质数；
1 000 到2 000 之间有135 个质数；
2 000 到3 000 之间有127 个质数；
3 000 到4 000 之间有120 个质数；
4 000 到5 000 之间有119 个质数。
100以内的质数
随着自然数的变大，质数的分布越来越稀疏。
质数把自己打扮一番，混在自然数里，使我们很难从外表看出它有什么特征。例如， 101，401，601，701都是质数，但是301和901却不是质数。又例如，11是质数，但111，11 111 以及由11 个l、13 个l、17 个1 排列成的数都不是质数，而由19 个l、23个l、317个1排列成的数却都是质数。
有人做过这样的验算：
从43 到1 601 连续39 个这样得到的数都是质数，但是再往下算就不再是质数了。
402+40+41=1 681=41×41，1 681 是一个合数。
在寻找质数方面做出重大贡献的还有17世纪的法国数学家梅森。梅森于l644年发表了《物理数学随感》，其中提出了著名的“梅森数”。梅森数的形式为2p-1，梅森整理出11个p值，使得2p-1成为质数。这l1个p值是2，3，5，7，13，17，19，31，67，127和257。仔细观察这11个数，不难发现，它们都是质数。不久，人们证明了如果梅森数是质数，那么p一定是质数。但是要注意，这个结论的逆命题并不正确，即p是质数，2p-1不一定是质数。
法国数学家梅森
梅森虽然提出了11个p值可以使梅森数成为质数，但是，他对11个p值并没有全部进行验算，其中的一个主要原因是数字太大，难以分解。当p=2，3， 5，7，13，17，19时，相应的梅森数为3，7，31，127，8 191，131 071，524 287。由于这些数比较小，人们已经验算出它们都是质数。
1772年，已经65岁的双目失明的数学家欧拉，用高超的心算本领证明了p=3l的梅森数是质数。
还剩下p=67，127，257三个相应的梅森数，它们究竟是不是质数呢？长时期无人去论证。梅森去世二百五十多年后，1903年在纽约举行的数学学术会议上，数学家科勒教授做了一次十分精彩的学术报告。他登上讲台却一言不发，拿起粉笔在黑板上迅速写出：
然后他就走回自己的座位。开始时会场里鸦雀无声，没过多久全场响起了经久不息的掌声。参加会议的人们纷纷向科勒教授祝贺，祝贺他证明了第九个梅森数不是质数，而是合数！
1914年，第十个梅森数被证明是质数。
1952年，借助电子计算机的帮助，人们证明了第十一个梅森数不是质数。
之后，数学家们利用运算速度不断提高的电子计算机来寻找更大的梅森质数。1996年9月4日，美国威斯康星州克雷研究所的科学家利用大型电子计算机找到了第三十三个梅森质数，这也是人类迄今为止所认识的最大的质数，它有378 632 位。
数学家们尽管可以找到很大的质数，但是质数分布的确切规律仍然是一个谜。古老的质数，还在和数学家捉迷藏呢！
趣味数学故事：质数和费马开的玩笑
费马被称为17世纪最伟大的法国数学家，他对质数做过长期的研究。他曾提出过一个猜想：当n是非负整数时，形如的数一定是质数。后来，人们把这个形式的数叫作“费马数”。费马提出这个猜想并不是无根据的。他验算了前五个费马数，验算的结果个个都是质数。费马没有再往下验算。为什么没往下算呢？有人猜测再往下算，数字太大了，不好算。但是，第六个费马数就出了问题！费马去世后67年，也就是1732年，25岁的瑞士数学家欧拉证明了第六个费马数不是质数，而是合数。
更有趣的是，从第六个费马数开始，数学家们再也没有找到哪个费马数是质数，它们全都是合数。看来，质数和费马开了个大玩笑！
17世纪最伟大的法国数学家费马
