负数的起源和发展、负数的表示方法

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负数的起源和发展、负数的表示方法插图

存折上的正负数

负数的起源和发展:

负数,顾名思义,就是正数的反义词。正数与负数表示一个事物的两个方面。比如买进5千克大米与卖掉5千克大米,盈利5元与亏损5元,向南走5米与向北走5米,同样是“5”,意义却不相同。如果不注明买与卖、盈与亏、南与北,用同一个“5”去记载,那么就不能把这两种相反的意义表示清楚了。

负数就是因为这个原因而产生的吗?不是的。虽然说有了负数可以更清楚地表达这些量,但是即使没有负数,人们也可以在同一个数前用两个反义词来表示相反意义的量,所以根本没有必要为了这个而引入负数。其实,从数学史上来看,负数是由于解方程的需要而产生的,而且值得骄傲的是,世界上最早、最详细的记载负数概念和运算法则的是我国的《九章算术》一书。《九章算术》“方程章”中的第三题是这样写的:“今有上禾二秉,中禾三秉,下禾四秉,实皆不满斗。上取中,中取下,下取上各一秉而实满斗。问上、中、下禾实一秉各几何?”这段话的意思是:现在有上等的水稻2束,中等的水稻3束,下等的水稻4束,打成谷后都不满1斗。如果将上等的加入1束中等的,中等的加入1束下等的,下等的加入1束上等的,那么打成谷后都满1斗。问上、中、下等一束水稻各出谷多少?如果列方程,然后用《九章算术》中的“直除消元法”(类似加减消元法)计算,必然会出现零减去正数的情况,而要使运算进行下去,就必须引入负数(大家可以试一试)。这样,负数就被创造出来了。接着,《九章算术》中又提到了“正负数”,它是这样写的:“同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之。其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之。”其中前四句话讲的是正负数与零之间的减法:同号相减,异号相加,以零减正得负,以零减负得正。后四句话讲的是正负数与零之间的加法:同号相加,异号相减,以零加正得正,以零加负得负。很明显,这与现代的负数理论完全吻合。

负数的起源和发展、负数的表示方法插图(1)

《九章算术》书影

在《九章算术》中还有一些题,也明确地提出了正负数的概念。如“方程章”的第八题:“今有卖牛二羊五,以买十三豕,有余钱一千;卖牛三豕三,以买九羊,钱适足;卖羊六豕八,以买五牛,钱不足六百。问牛、羊、豕价各几何?”这是一个有买有卖的问题,如果不用负数,列方程比较困难。对此,《九章算术》中明确指出,若“卖”为正,则“买”为负;“余”为正,则“不足”为负,只要以此“用正负术入之”即可。这就有了正负数概念和运算法则。之后,随着多项式乘除的出现,元代科学家朱世杰建立了正负数的乘除运算法则。由此可见,在元代时我国正负数的四则运算已经臻于完整。

不过很可惜的是,虽然中国科学家最早引出了负数,并建立了基本完整的运算法则,但是真正在数学上给予负数应有地位的是欧洲科学家,如德国的魏尔斯特拉斯、戴德金等。欧洲是在15世纪才在方程的讨论中出现负数的。

负数在欧洲的发展经历了一个非常曲折的过程。15世纪,负数在欧洲出现,但是到18世纪以前,欧洲数学家对负数大都持保留态度。他们忽略了正负数之间的辩证关系,而只看到了负数与零在量值上的大小比较(人们认为零是最小的数,而负数比零还小简直不可思议)。1484年,法国数学家丘凯曾给出了二次方程的一个负根,不过他没有承认这个负根,而是说负数是荒谬的数。1545年,卡丹承认方程可以有负根,但他认为负数是“假数”,只有正数是“真数”。英国皇家学会会员马塞雷(1731—1824年)则认为方程中承认负根只会把方程的整个理论搞糊涂,只有把负数从代数里驱除出去,才能使代数在简洁明了和证明能力方面与集合相媲美。而且更可笑的是,为了在解方程的过程中避开负数,马塞雷把二次方程进行了分类,他将有负根的方程单独考虑,并在最后舍去负根。

当然在18世纪,固执排斥负数的人已经不多了。著名的法国数学家笛卡尔创立了解析几何以后,坐标方法开始流行。因为负数的运算法则在直观上是可靠的,而且它没有在计算中引起任何麻烦,所以人们还是一直使用着负数,负数的几何表示也开始出现。1655年,英国数学家沃利斯将笛卡尔两条仅有的正坐标轴分别向两边延伸,这样就引进了负数的纵、横坐标,从而为负数提供了一个可见的原形。在代数上,直到19世纪为整数奠定了逻辑基础以后,负数在欧洲才被正式确立,真正在数学上得到了它应有的地位。

趣味数学故事:负数的表示方法

聪明的我国古人是采用筹算来表示正负数的,其方法有以下几种。

(1)用红筹表示正数,黑筹表示负数。据史书记载,这种方法在西汉时就已经出现了,特别是公元3世纪刘徽注释《九章算术》“正负术”时说:“正算赤,负算黑。”

(2)用正摆筹表示正数,斜摆筹表示负数,如刘徽注云:“否则以邪正为异”。

(3)用截面为三角形筹表示正数,截面为正方形或矩形筹表示负数。

(4)南宋数学家李冶在《测圆海镜》(1248年)中用斜画一杠表示负数,通常画在最后一位有效数字上。

(5)南宋数学家杨辉(13世纪)在负数后写个负字,如-72写成“七十二负”。

(6)在古算书中还有很多用文字表示负数的词字,如盈余、买、收、进、强等为正,不足、卖、付、出、弱等为负。但是,令人遗憾的是,中国古代始终没有创立简明的负号,这阻碍了中国数学的发展。

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