中国数学理论体系的建立
《九章算术》问世之后，我国的数学著述基本上采取两种方式：一是为《九章算术》作注；二是以《九章算术》为楷模编纂新的著作。其中刘徽的《九章算术注》被认为是我国古代数学理论体系的开端。
祖冲之的数学研究工作在南北朝时期最具代表性，他在刘徽《九章算术注》的基础上，将传统数学大大向前推进了一步，成为重视数学思维和数学推理的典范。我国古典数学理论体系至此建立。
■数学家刘徽
一位农妇在河边洗碗。她的邻居闲来无事，就走过来问：“你洗这么多碗，家里来了多少客人？”
农妇笑了笑，答道：“客人每2位合用一只饭碗，每3位合用一只汤碗，每4位合用一只菜碗，共用65只碗。”然后她又接着问邻居，“你算算看，我家里究竟来了多少位客人？”
这位邻居也很聪明，很快就算了出来。
这是《孙子算经》中的一道著名的数学题“河上荡杯”。荡杯在这里是洗碗的意思。
很明显，这里要求解的是65个碗共有多少人的问题。其中有能了解客数的信息是2人共碗饭，3人共汤碗，4人共菜碗。通过这几个数值，很自然就能解决客数问题。《孙子算经》有3卷，常被误认为春秋军事家孙武所著，实际上是魏晋南北朝时期前后的作品，作者不详。这是一部数学入门读物，通过许多有趣的题目，给出了筹算记数制度及乘除法则等预备知识。
“河上荡杯”，包含了当时人们在数学领域取得的成果。而“鸡兔同笼”这个题目，同样展示了当时的研究成果。
■《九章算术》
孙武(前454年～前470年)，我国春秋时期吴国将领。历史上著名军事家。其著有巨作《孙子兵法》13篇，为后世兵法家所推崇，被誉为“兵学圣典”，置于《武经七书》之首，成为国际间最著名的兵学典范之书。
■古代数学著作
清谈 指是魏晋时期，承袭东汉时期清议的风气，就一些玄学问题析理问难，反复辩论的文化现象。魏晋名士以清谈为主要方式，针对本和末、有和无、动和静、一和多、体和用、言和意、自然和名教等诸多具有哲学意义的命题进行了深入的讨论。
鸡兔同笼的题意是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？
这道题其实有多种解法。
其中之一：如果先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。同理，也可以假设全是兔子。《孙子算经》还有许多有趣的问题，比如“物不知数”等，在民间广为流传，同时，也向人们普及了数学知识。
其实，魏晋时期特殊的历史背景，不仅激发了人们研究数学的兴趣，普及了数学知识，也丰富了当时的理论构建，使我国古代数学理论有了较大的发展。
在当时，思想界开始兴起“清谈”之风，出现了战国时期“百家争鸣”以来所未有过的生动局面。与此相适应，数学家重视理论研究，力图把从先秦到两汉积累起来的数学知识建立在必然的基础之上。
而刘徽和他的《九章算术注》，则是这个时代造就的最伟大的数学家和最杰出的数学著作。
刘徽生活在“清谈”之风兴起而尚未流入清谈的魏晋之交，受思想界“析理”的影响，对《九章算术》中的各种算法进行总结分析，认为数学像一株枝条虽分而同本干的大树，发自一端，形成了一个完整的理论体系。
刘徽的《九章算术注》作于263年，原10卷。前9卷全面论证了《九章算术》的公式、解法，发展了出入相补原理、截面积原理、齐同原理和率的概念，首创了求圆周率的正确方法，指出并纠正了《九章算术》的某些不精确之处或错误的公式，探索出解决球体积的正确途径，创造了解线性方程组的互乘相消法与方程新术。
刘徽(225年～295年)，魏晋时数学家，在我国数学史上占有重要地位，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，方法灵活，既提倡推理又主张直观。是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人，给中华民族留下了宝贵的财富。
■《九章算术》
■古代科学家祖冲之
张丘建 我国著名的数学家。他一生从事数学研究，数学造诣很深。著有《张丘建算经》3卷。算经的体例为问答式，条理精密，文词古雅，是我国古代数学史上的杰作，也是世界数学资料库中的一份遗产。
用十进分数逼近无理根的近似值等，使用了大量类比、归纳推理及演绎推理，并且以后者为主。
第十卷原名“重差”，为刘徽自撰自注，发展完善了重差理论。此卷后来单行，因第一问为测望海岛的高远，故名称《海岛算经》。
我国古典数学理论体系的建立，除了刘徽及其《九章算术注》不世之功和《孙子算经》的贡献外，魏晋南北朝时期的《张丘建算经》、《缀术》也丰富了这一时期的理论创建。
南北朝时期数学家张丘建著的《张丘建算经》3卷，成书于北魏时期。此书补充了等差级数的若干公式，其百鸡问题导致三元不定方程组，其重要之处在于开创“一问多答”的先例，这是过去我国古算书中所没有的。
百鸡问题的大意是公鸡每只值5文钱，母鸡每只值3文钱，而3只小鸡值1文钱。用100文钱买100只鸡，问这100只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各多少只？
这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。
百鸡问题还有多种表达形式，如“百僧吃百馍”和“百钱买百禽”等。宋代数学家杨辉算书内有类似问题。此外，中古时近东各国也有相仿问题流传，而且与《张丘建算经》的题目几乎全同。可见其对后世的影响。
与上述几位古典数学理论构建者相比，祖冲之则重视数学思维和数学推理，他将传统数学大大向前推进了一步。
祖冲之写的《缀术》一书，被收入著名的《算经十书》中，作为唐代国子监算学课本。
祖冲之将圆周率的真值精确到3.1415926，是当时世界上最先进的成就。他还和儿子祖暅一起，利用“牟合方盖”圆满地解决了球体积的计算问题，得到了正确的球体积公式。
祖冲之还在462年编订《大明历》，使用岁差，改革闰制。他反对谶纬迷信，不虚推古人，用数学方法比较准确地推算出相关的数值，坚持了实事求是的科学精神。
中国数学史上的趣味数学故事
祖冲之的儿子祖暅从小爱好数学，巧思入神，极其精微。专心致志之时，雷霆不能入。
有一次，祖暅边走路边思考数学问题，走着走着，竟然一头撞在了对面过来的仆射徐勉身上。“仆射”是很高的官，徐勉是朝廷要人，倒被这位年轻小伙子碰得够呛，不禁大叫起来。这时祖暅方才醒悟。
祖暅发现了著名的等幂等积定理，又名“祖暅原理”，是指所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等。在当时的世界上处于领先地位。
