小学趣味数学故事:古代数学与科技的结合(实用数学)

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和数的概念一样,形的概念在我国奴隶社会也有新的发展。为适应各种社会活动(特别是生产实践活动)的需要而大大丰富了几何知识的内容。在夏商时代已开始兴修水利工程,传说夏禹曾领导治水,甲骨文有了“正河”的记载。“正河”就是兴修水利。当时城堡、房屋建筑的规模也很大,所有这些工程都要用到测绘和几何学知识。

古代数学与科技的结合

(1)测绘工具的发明

土木工程和工具的制造等都需要测量,而测量又需要一定的几何知识和必要的工具。例如在河南偃师二里头发掘出来的早商时代宫殿遗址,规模宏伟,光是台基面积就约有一万平方米,墙基很直,柱孔排列整齐,分布均匀。这样的大型建筑,必须通过测量才能办到。

早在商代已经有了“规”、“矩”二字的象形文字,那么规矩的发明可能还要早得多。在汉代的许多画面上常有“伏羲手执规,女娲手执矩”的图象,规是两脚状,和现在的圆规相似,矩是一直角拐尺形。

公元前二世纪成书的《周髀算经》卷上记载:“……故折矩以为句广三,股修四,径隅五。既方其外,半之一矩,环而共盘,得三、四、五。两矩共长二十有五,是谓积矩。故禹之所以治天下者,此数之所由生也。”这是在禹治天下时有了“勾三股四弦五”这个勾股定理的特例。

商代已普遍使用车子,仅在河南安阳殷墟就几次发现车子的遗迹。制造车子需要用到几何知识。轮是圆的,而辐有毂向外射出把圆周角等份,也把圆周形的轮等份。1972年挖掘出来的车轮有22根圆柱形的辐,排列整齐。车的轮牙一般是由几块弧形构件合成,这就产生了用几段圆弧合并成圆的概念。要做到这一点,事先必须作精细的测绘和必要的计算。但是显然应当使用测绘工具,否则车轮是做不成的。

(2)几何测绘方式

西周以后的春秋战国时代由于战争和生产的需要,各地修建了不少堤防和水利工程。为了使各项工程合乎需要,必需进行测量和计算。早在两千四、五百年前,水利工程中要进行距离、高低、厚薄、土方等测量,同时还包括工程期限、劳力多少和分配、所需粮食、材料等方面的计算。很显然,在这类工程中会遇到大量的几何问题,必需运用几何知识才能解决。如计算土方实际上就是体积计算。最简单的立体是立方体,稍复杂一点的是正四棱台,都应当有计算法则。城墙的修筑,同样需要几何知识,《墨子》中有关于城墙、城门、垛口、城楼等一系列的计算问题,都与立体几何有关系。

春秋时期,在一些经济发达的地区已经有了封建生产关系的萌芽。公元前594年鲁国(今山东南部)开始实行“初税亩”制度,不论公私田地要按亩纳税。这就要求人们去研究面积的计算问题。虽然在当时的书籍上还没有找到有关面积计算的记载,但是估计当时对于正方形、长方形、三角形、梯形、圆等的面积计算法则已相继产生了。

在春秋战国之际的遗物中,有各种形状的磨制品,其中最引人注意的是1971年在山东临溜郎家庄出土的约公元前500~400年的殉人墓中水晶珠。这种水晶珠呈简单的半正多面体形状,通过观察,可知其磨制过程:先把水晶块磨成正六面体,再磨去八个角(有一定要求),便成为一种半正多面体。它的表面由六个相等的正方形和八个相等的正三角形构成,并且所有的二面角都相等。在同一殉人墓中出土的一件漆器上画有很规则的同心圆、正方形、平行线、三角形、平行四边形、菱形、长方形等各种几何图形。

战国时期已经有了很好的技术平面图,例如在一些漆器上有船只、兵器、建筑等图形,其画法符合正投影原理。在河北省出土的战国时中山国墓中的一块铜片上有一幅建筑平面图,表现很高的制图技巧和几何水平。

当时,在制造各种工具、器械、乐器过程中,常常会遇到需要把两个棒形物曲折相接,或者是将金属板、木板作成多边形,这就要用到角的概念。在《考工记》一书中有不少这方面的记载。这本书对于角和几种特殊角都有专门名称,把非直角的角叫着“倨句”,“倨”是钝角,“句”是锐角。直角叫做“倨句中矩”或简称“一矩”,例如“磬氏为磬:倨句一矩有半”。“磬”是古代的一种石制乐器,常把大小不等的几个磬按大小次序为一组吊起来敲打发声。“磬氏”是指制造石磬的工匠。“倨句一矩有半”是指石磬背部的折角的规格,其大小是一个直角(矩)再加上半个直角,相当于。90°+×90°=135°。在同一书中还有关于车辆规格的记载,包括一些构件角度大小的规定,并且把不同角度的构件取了专门名称。《考工记》还记有“筑氏为削:合六而成规;天子之弓,合九而成规;诸侯之弓,合七而成构;大夫之弓,合五而成规;士之弓,合三而成规。”是说制造弓的规格,每张弓都成一圆弧形状,使几张弓合在一起构成圆周。但是要根据当时的社会等级的要求去制弓。一般人用的弓六张合在一起为一圆周,天子用的弓九张合在一起为一圆周,等等。这里已经包含着明确的等份圆周概念。如果把弓上弦联在一起考虑,就构成了圆内接正六边形、正九边形、正七边形、正五边形、正三角形。

在春秋战国时代的文献上常常把测量和绘图记载在一起。实际上,两者之间有密切的关系。当时测量的内容已经比较齐全,包括直线测量、水准测量、垂直测量等,分别叫做“绳墨”(或“准绳”),“水”和“悬”等。“绳墨”就是打墨线以取直,“水”是以水平面为标准测量坡度和高程,“悬”是用悬垂的线以定垂直。

由此说明,春秋战国时代,由于社会生产的发展以及兼并战争的需要,已经积累了较为丰富的几何知识。

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